與小女兒談談這個宇宙 – 黑洞&黑洞的最小半徑算法

我說：”我們一路從宇宙的起源，宇宙大爆炸的理論，宇宙大爆炸的觀測證據，談到星星/星系/星團是如何產生的，也快速的漫遊了一億光年的外太空…”

她說：”嗯，我覺得我現在對我們這個宇宙真的有比較＂了解＂了，也對一些專有名詞比較不那麼的抗拒了…可是有時仔細想想，還是覺得這宇宙真的有夠神奇了”

我說：”是啊！有時你越深入＂了解＂，你會發現你無法解釋的越多，這也是天文宇宙為什麼這麼令人覺得神祕又有趣，可以窮盡你的一生去探尋的喔！我想今天我們可以來談一下你一直很有興趣的黑洞吧！”

她說：”我是聽你和爸爸在餐桌聊起，好像很有趣啊！今天終於可以揭開黑洞的神秘面紗囉！以前你們都懶得解釋給我聽…”

我說：” 黑洞，其實到目前為止，還沒有人真的可以完全揭開它的面紗呢！＂

她說：”為什麼？＂

我說：”因為，之所以叫黑洞，是以我們現有的技術，我們根本無法直接”看見它”。”

她說：” 如果看不見？那怎麼會說”有”黑洞呢?”

我說：”最早的時候，是在18世紀時吧，有個天文學家拉普拉斯，他依據牛頓的萬有引力，推論出應該會有黑洞這種東西的存在，他想是不是可能有個地方，它的萬有引力非常的非常的強大，所以任何物質掉進那個地方，都會被它的萬有引力緊緊地拉著，沒有任何東西可以逃離這個地方，即使是速度最快的光也一樣沒辦法逃脫。而既然連光線都無法逃離，我們當然就看不見它啊。但後來一般認為不可能有這個地方啦，所以就這樣擱著了。”

她說：”拉普拉斯好聰明喔。”

我說：”對啊，他是法國的數學家和天文學家，對科學的貢獻，是公認的僅次於牛頓喔。拉普拉斯用數學方法證明了行星的軌道大小只有周期性變化，這就是著名的拉普拉斯定理。他還寫過”天體力學”及"宇宙系統論"，在"宇宙系統論"裡，他是第一個以科學的角度，提出太陽系起源於一堆氣體雲氣...”

她說：”那後來黑洞怎麼又被提出來的?"

我說：”是因為愛因斯坦的廣義相對論，改變了人們對於重力的概念。還記得嗎?我們之前談過抽象的重力…”

她說：”你說那個放在彈簧床上的保齡球嗎?！那個保齡球使床墊陷下去的部分，代表彎曲的空間。所以我們放上任何東西像彈珠，它都會往中間的保齡球掉下去，那就是重力的來源。"

我說：”是啊，所以你想像一下，當有個超大質量的天體(保齡球)，扭曲了附近的時空，讓光線路徑也跟著扭曲到一如彈珠永遠的往中間的保齡球掉下去，無法繞出來，這就是黑洞。"

她說：”很難想像，連光線都無法逃出來…”

我說：”黑洞是一個幾乎與世隔絕的獨立世界，它不斷的吸入外面的東西，而裡面的東西卻很難逃脫出來。天文學家史瓦西(Karl Schwarzschild)，在1916年就發現了廣義相對論中黑洞半徑的解哦。" 

她說：”不斷的吸入外面的東西，非常強大的引力，連光線都無法逃出來，嗯…所以看起來要產生黑洞，只要聚集一堆物質，質量越大，引力就越大，不是嗎? 那要聚集到多少物質才能產生黑洞啊? "

我說：”根據估計，如果把1.4億個太陽聚集起來，就算密度和現在的太陽一樣，是可能形成黑洞喔，但這個1.4億個太陽的黑洞的直徑就真是非常地驚人了。"

她說：”很難想像1.4億個太陽的直徑。還有其他的可能，產生非常強大的引力，形成黑洞嗎? "

我說：”如果把物質壓縮到非常小的體積後，這個物體也會產生非常強大的引力，所謂密度越大，引力也會越大…"

她說：”萬有引力的公式是…"

我說：” Gm₁m₂/r²_， G 是萬有引力常數，r是距離。 "

她說：”喔，所以只要把大量的物質壓縮到非常小的體積後，這個物體就會產生非常強大的引力，大到足以把光線緊緊拉著飛不出去。是嗎? 但在這個宇宙裡，怎麼產生這樣的情況啊? 宇宙大爆炸那個奇異點好像有點符合喔。但奇異點不是產生大爆炸了嗎? 炸出我們現在的日月星辰啊！"

我說：”嗯，有人就覺得一個質量夠大的黑洞，應該可以爆炸出一個個日月星辰，而這時就不叫黑洞了，叫白洞。因為它和黑洞的性質正好相反，不是吸入物質，而是不斷迸出日月星辰。不過，不需要密度大到和奇異點一樣，還是可以形成黑洞。根據估計，只要把我們的太陽收縮到直徑只有6公里那麼小，就足以形成黑洞囉。" 

她說：”在這個宇宙裡，甚麼情況會形成密度如此大的狀況呢?”

我說：”我們在”太陽的生與死”時曾提到，太陽最後會變成一顆白矮星。記得嗎?”

她說：”嗯，百億年後。不過，我們會先在50億年後變成紅巨星，那時我們太陽核心裡的氫會全部被融合成氦。然後氦再被融合成碳和氧。激烈的燃燒，最後會把太陽核心外面的氣體全部拋出去，這時候僅存的太陽核心殘骸，溫度會逐漸下降，就成為小而緻密的白矮星囉。但是，這和黑洞有甚麼關係啊?”

我說：”質量小如太陽者，是會成為白矮星。但是比太陽質量大上許多的恆星燃燒殆盡後，會像一顆超級氫彈一樣產生大爆炸，也就是所謂的"超新星"(supernova)。超新星的爆炸會將所有的物質強力往外推，而且會發出強光，即使一千億顆恆星的光芒加在一起都相形失色喔。超新星爆炸後，核心殘骸剩餘的質量如果是太陽質量的1.4 至2.1倍，在重力的影響下，會繼續往中心塌縮，於是電子就被擠入原子核內，與質子結合成中子，整個恆星就塌縮成所謂的中子星。”

她說：”中子星裡面都是中子而已嗎?”

我說：”中子星裡面也有其他粒子，不過絕大部分是中子。目前我們人類的技術還沒有辦法在地球上產生像中子星內部這樣的東西。”

她說：”那如果殘骸大於太陽質量的2.1倍呢?”

我說：”就會再繼續塌縮，結果是連中子也無法存在，這時恆星將整個塌縮為黑洞。因此也有人說黑洞的形成是恆星演化死亡的結果。”

她說：”哦，原來如此，不是每顆星球都會經過紅巨星這樣演化的。” 

我說：”現在，還發現幾乎在所有星系的核心，都有巨大的黑洞。像我們銀河系的中心人馬座A*，相當於400萬倍太陽的質量。這些巨大的黑洞動輒擁有數百萬到數十億個太陽質量。如果依照恆星演化的估算，應該是無法形成。因此，可能不是每個黑洞都是經由恆星爆炸死亡形成的。”

她說：”可是黑洞不是也會吞噬周圍的黑洞，越來越大啊！”

我說：”話是沒錯，可是我們發現了一個130億年前的超級黑洞，這個黑洞大概有20億個太陽質量。如此巨大的黑洞，應該是無法在大霹靂後7億7000萬年之內形成。”

她說：”為什麼?”

我說：”因為黑洞不是只會吃而已。黑洞雖然會將周圍的總總吸入，但是，這些朝黑洞墜落的氣體同時也會被加熱而發出輻射，於是就會將向內墜落的物質往外推，因此會減低黑洞成長的速度。依照估算，黑洞就算以最高速度吞噬周遭的物質，成長一倍的質量還是需要5000萬年。如果恆星死亡時產生3~100個太陽質量的”小”型黑洞，這個”小”型黑洞再慢慢吃掉一些附近的物質，越變越大，但是還是不大可能在7億7000萬年間就形成20億個太陽質量的黑洞。所以現在一般認為4~30倍太陽質量的黑洞，是因為大型恆星死亡時塌縮的遺骸。而1000~200萬個太陽質量的黑洞應該是小型黑洞彼此吞噬形成的。至於數百萬至數十億太陽質量的黑洞，可能是早期大型星雲直接塌縮的。” 

她說：”如果連光線都無法逃離，我們也看不見它，那我們怎麼”發現”黑洞的啊?”

我說：” 我們只能以間接的方法囉。例如看到一堆恆星或星雲繞著一個看不見的物體運轉，那個看不見的物體應該就是個黑洞。你想想，就算我們的太陽現在變成了直徑6公里的一個小黑洞，我們太陽系裡雖然一片漆黑，不過，由於太陽的質量引力還在那兒，地球和太陽系裡所有的星球，就應該還是會照現在的軌道一樣的運轉，因此雖然變成黑洞的太陽無法直接被我們”看到”，但從地球和其他星球的運轉就可以推斷它的存在了。”

她說：”還有其他的方法嗎?”

我說：” 如果有一個發光天體位於黑洞後方，就會被黑洞遮掉了一部份的光，這種稱為”掩蝕”的現象或許可以判斷是否存在黑洞。但是以天文學的尺度來說，黑洞實在太小了，難以觀察。”

她說：”那怎麼辦?”

我說：”可以利用我們剛剛提到的，黑洞在吸積周圍物質的過程中，物質會互相摩擦加熱而發出輻射，於是在宇宙另一端的我們，就能偵測得到這個”信號”。尤其是雙星系統中的黑洞(一個亮星和一個黑洞(暗星))，由於它的強大引力，可以擄獲從亮星中流出來的氣體，在氣體被吸入衝向黑洞的途中，會被加熱到很高的溫度，並將發出很強的X射線，因此，如果能找到一個暗伴星，它能發出X射線，且質量足夠大，那麼它就很有可能是一個黑洞。目前這種方法已得到確認喔，所以開始了大規模的搜尋黑洞。" 

她說：”媽媽，上次你跟爸爸說你發現了一個簡易的方法算出黑洞半徑的解，你可以教我嗎?”

我說：”說完這個就要睡覺囉！這是個投機的算法，可以簡易算出黑洞的最小半徑，稱為史瓦西半徑。原理是如果遠方的星星和我們中間有一個黑洞漩渦，我們要看得見那顆黑洞背後的星光，代表那顆星星的光子在繞過黑洞時，不能被黑洞吸入，光子才可能進入我們的眼睛，讓我們看到星光。合理嗎?”

她說：”嗯..”

我說：”所以，代表那顆黑洞背後星光的光子行進的”動能”要大於或剛好等於光子會被黑洞吸入的”位能”， 才能繞過黑洞。所以公式是
E = 1/2mC² (動能) = GMm/r (位能)
(C是光速，r是黑洞半徑，m是光子質量，M是黑洞質量)

所以 r=2GM/C²

天文學家認為瀕死的星體，如果具有大於三倍太陽質量的殘餘核心，便會形成黑洞。
太陽質量 = 2 x 10³⁰ Kg，三倍太陽質量=3 x 2 x 10³⁰ Kg

G (重力係數) = 6.673 × 10^-11 m³ kg^-1 s^-2

所以 r=2GM/C²=2x(6.673x10^-11)x3 x (2x10³⁰)/(9x10¹⁶) =~9km  

所以在半徑9公里處，光剛好可以繞過黑洞，不會被吸入黑洞，因此最小的史瓦西半徑是9公里。但因重力扭曲時空，所以半徑會大於9公里 (曲面)。”

 她說：”聽起來好像很簡單…，那怎能說是投機的算法呢?”

我說：”因為啊，光子其實是沒有質量的(m=0), 但因方程式的兩邊剛好可以抵消光子的質量, 所以可以如此算哦。”

她說：”那正確的方程式應該怎麼算啊?”

我說：”應該要用 E= hv (光能量=普朗克常數 x 頻率)這個公式算光子的能量才對。”

她說：”算了，還是用你的比較簡單。”